円上の点での接線をベクトルで表す（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 円上の点での接線をベクトルで表す（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
中心 $\mathrm{C}(\vec{c})$，半径 $r$ の円上の点 $\mathrm{P_0}(\vec{p_0})$ における接線について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 接線のベクトル方程式は $(\vec{p_0}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^2$ と表されることを示せ．
\item[(2)] 円 $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ 上の点 $(4,\,6)$ における接線の方程式を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 接線上の点を $\mathrm{P}(\vec{p})$ とすると，接線は半径 $\mathrm{CP_0}$ に垂直であるから
\[ (\vec{p_0}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{p_0})=0 \]
$\vec{p}-\vec{p_0}=(\vec{p}-\vec{c})-(\vec{p_0}-\vec{c})$ であり，$|\vec{p_0}-\vec{c}|^2=r^2$ であるから
\[ (\vec{p_0}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})-r^2=0 \]
よって $(\vec{p_0}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^2$ \hfill 終
(2) $\vec{c}=(1,\,2)$，$\vec{p_0}=(4,\,6)$，$r=5$ であるから，$\vec{p_0}-\vec{c}=(3,\,4)$ より
\[ 3(x-1)+4(y-2)=25 \quad\text{すなわち}\quad 3x+4y=36 \]
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