ベクトル方程式が表す円を調べる（A）

(1) 式を変形すると \[ |\vec{p}|^2-(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{p}+\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \quad\text{より}\quad \left|\vec{p}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^2=\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{4}-\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2}{4}=\frac{|\vec{a}-\vec{b}|^2}{4} \] 両辺の $\left|\vec{p}-\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|$，$\dfrac{|\vec{a}-\vec{b}|}{2}$ は 0 以上であるから $\left|\vec{p}-\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|=\dfrac{|\vec{a}-\vec{b}|}{2}$ ここで，$\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ は線分 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$ の位置ベクトルであり，$|\vec{a}-\vec{b}|=\mathrm{AB}$ である．よって，点 $\mathrm{P}$ 全体は中心 $\mathrm{M}$，半径 $\dfrac{\mathrm{AB}}{2}$ の円，すなわち線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする円である． （$\mathrm{P}\neq\mathrm{A},\mathrm{B}$ のとき $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\perp\overrightarrow{\mathrm{BP}}$，すなわち $\angle\mathrm{APB}=90^\circ$ を表す．） (2) $\vec{p}=(x,\,y)$ とすると \[ (x-1)(x-5)+(y-2)(y-4)=0 \quad\text{すなわち}\quad x^2+y^2-6x-6y+13=0 \] 変形して $(x-3)^2+(y-3)^2=5$．中心 $(3,\,3)$，半径 $\sqrt{5}$