係数条件を変えたときの点の動く領域（B）

$s+2t\leqq 2$ かつ $s\geqq 0$，$t\geqq 0$ の範囲は，$\overrightarrow{\mathrm{OA'}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ として $\triangle\mathrm{OA'B}$ の周および内部である． $2s+t\leqq 2$ かつ $s\geqq 0$，$t\geqq 0$ の範囲は，$\overrightarrow{\mathrm{OB'}}=2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ として $\triangle\mathrm{OAB'}$ の周および内部である． 求める範囲はこの共通部分である．2 直線 $s+2t=2$，$2s+t=2$ の交点は $s=t=\dfrac{2}{3}$ であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$ として，存在範囲は四角形 $\mathrm{OACB}$ の周および内部である． 面積は $\triangle\mathrm{OAC}+\triangle\mathrm{OCB}$ である． $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ より，点 $\mathrm{C}$ は $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の終点を通り直線 $\mathrm{OA}$ に平行な直線上にあるから，$\mathrm{C}$ と直線 $\mathrm{OA}$ の距離は，$\mathrm{B}$ と直線 $\mathrm{OA}$ の距離の $\dfrac{2}{3}$ 倍である．同様に，$\mathrm{C}$ は $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の終点を通り直線 $\mathrm{OB}$ に平行な直線上にあるから，$\mathrm{C}$ と直線 $\mathrm{OB}$ の距離は，$\mathrm{A}$ と直線 $\mathrm{OB}$ の距離の $\dfrac{2}{3}$ 倍である．よって，底辺 $\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$ をそれぞれ共有する三角形を比べて \[ \triangle\mathrm{OAC}=\frac{2}{3}S,\qquad \triangle\mathrm{OCB}=\frac{2}{3}S \] よって面積は $\dfrac{4}{3}S$