係数条件を変えたときの点の動く領域（A）

$s+2t=k$（$1\leqq k\leqq 3$）とすると $\dfrac{s}{k}+\dfrac{2t}{k}=1$ であるから \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{s}{k}\left(k\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)+\frac{2t}{k}\left(\frac{k}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right),\quad \frac{s}{k}\geqq 0,\ \frac{2t}{k}\geqq 0 \] よって $\mathrm{P}$ は，$k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の終点と $\dfrac{k}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の終点を結ぶ線分上を動く．この線分は $k$ によらず一定の向きで，$k$ が $1$ から $3$ まで増加すると平行に移動する． $\overrightarrow{\mathrm{OA_1}}=3\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB_1}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB_2}}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とすると，存在範囲は台形 $\mathrm{AA_1B_2B_1}$ の周および内部である（下図）． $\triangle\mathrm{OA_1B_2}$，$\triangle\mathrm{OAB_1}$ は $\triangle\mathrm{OAB}$ と $\angle\mathrm{AOB}$ を共有し，$\mathrm{OA_1}=3\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB_2}=\dfrac{3}{2}\mathrm{OB}$，$\mathrm{OB_1}=\dfrac{1}{2}\mathrm{OB}$ であるから，面積は \[ \triangle\mathrm{OA_1B_2}-\triangle\mathrm{OAB_1}=3\cdot\frac{3}{2}S-1\cdot\frac{1}{2}S=4S \]