係数の範囲から点の存在範囲と面積を求める（B）

(1) $\dfrac{s}{2}+t\leqq 1$ であるから，$s'=\dfrac{s}{2}$ とおくと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s'(2\overrightarrow{\mathrm{OA}})+t\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s'+t\leqq 1,\ s'\geqq 0,\ t\geqq 0 \] $2\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA'}}$ とすると，存在範囲は $\triangle\mathrm{OA'B}$ の周および内部で，面積は $2S$ (2) $s\geqq 0$，$t\geqq 0$ の部分は $s+t\leqq 1$ より $\triangle\mathrm{OAB}$ の周および内部である． $s\leqq 0$，$t\geqq 0$ の部分は $-s+t\leqq 1$ で，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(-s)(-\overrightarrow{\mathrm{OA}})+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と見ると，$-\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA_1}}$ として $\triangle\mathrm{OA_1B}$ の周および内部である． $-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB_1}}$ とする．$s\leqq 0$，$t\leqq 0$ の部分は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(-s)\overrightarrow{\mathrm{OA_1}}+(-t)\overrightarrow{\mathrm{OB_1}}$，$(-s)+(-t)\leqq 1$ と見ると $\triangle\mathrm{OA_1B_1}$ の周および内部，$s\geqq 0$，$t\leqq 0$ の部分は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(-t)\overrightarrow{\mathrm{OB_1}}$，$s+(-t)\leqq 1$ と見ると $\triangle\mathrm{OAB_1}$ の周および内部である． よって，存在範囲はこれら 4 つの三角形を合わせた平行四辺形 $\mathrm{AB A_1 B_1}$ の周および内部となる． $\mathrm{OA_1}=\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB_1}=\mathrm{OB}$ であり，$\angle\mathrm{A_1OB}$，$\angle\mathrm{A_1OB_1}$，$\angle\mathrm{AOB_1}$ はそれぞれ $180^\circ-\angle\mathrm{AOB}$，$\angle\mathrm{AOB}$，$180^\circ-\angle\mathrm{AOB}$ に等しいから，4 つの三角形の面積はいずれも $S$ である．したがって，面積は $4S$