s+t=1, s, t≧0 などで点が動く範囲（A）

(1) $s+t=3$ より $\dfrac{s}{3}+\dfrac{t}{3}=1$．$s'=\dfrac{s}{3}$，$t'=\dfrac{t}{3}$ とおくと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s'(3\overrightarrow{\mathrm{OA}})+t'(3\overrightarrow{\mathrm{OB}}),\quad s'+t'=1 \] $3\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA'}}$，$3\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB'}}$ となる点 $\mathrm{A'}$，$\mathrm{B'}$ をとると，$\mathrm{P}$ の存在範囲は直線 $\mathrm{A'B'}$ である． (2) さらに $s'\geqq 0$，$t'\geqq 0$ であるから，$\mathrm{P}$ の存在範囲は線分 $\mathrm{A'B'}$ である． (3) $s+t=k$（$0\leqq k\leqq 2$）とする．$k>0$ のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{s}{k}(k\overrightarrow{\mathrm{OA}})+\dfrac{t}{k}(k\overrightarrow{\mathrm{OB}})$，$\dfrac{s}{k}+\dfrac{t}{k}=1$，$\dfrac{s}{k}\geqq 0$，$\dfrac{t}{k}\geqq 0$ であるから，$\mathrm{P}$ は $k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$k\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の終点を結ぶ線分上を動き，$k=0$ のとき $\mathrm{P}=\mathrm{O}$．$k$ を $0$ から $2$ まで動かすと，この線分は $\mathrm{AB}$ に平行に動く．$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA''}}$，$2\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB''}}$ とすると，$\mathrm{P}$ の存在範囲は $\triangle\mathrm{OA''B''}$ の周および内部である．