2 線分の交点と辺との交点の位置ベクトル（B）

(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\dfrac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{2}{3}\vec{b}$ である． $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$，$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+\frac{2}{3}s\vec{b}=\frac{t}{2}\vec{a}+(1-t)\vec{b} \] と表される．$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$ で，かつ $\vec{a}$，$\vec{b}$ は平行でないから，係数を比較して $1-s=\dfrac{t}{2}$，$\dfrac{2}{3}s=1-t$．第 2 式から $t=1-\dfrac{2}{3}s$ を第 1 式に代入して $1-s=\dfrac{1}{2}-\dfrac{s}{3}$ より $s=\dfrac{3}{4}$，$t=\dfrac{1}{2}$ よって $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}$ (2) $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{OP}$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{k}{4}\vec{a}+\dfrac{k}{2}\vec{b}$ となる実数 $k$ がある．$\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{AB}$ 上にあるから，係数の和が 1 より $\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{2}=1$，$k=\dfrac{4}{3}$． \[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3} \] よって $\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=2:1$．また $\mathrm{OQ}=\dfrac{4}{3}\mathrm{OP}$ より $\mathrm{OP}:\mathrm{PQ}=3:1$