2 線分の交点と辺との交点の位置ベクトル（A）

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\dfrac{2}{3}\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{3}{7}\vec{b}$ である． $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+\dfrac{3}{7}s\vec{b}$ $\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{2}{3}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$ $\vec{a}$，$\vec{b}$ は $\vec{0}$ でなく平行でないから \[ 1-s=\frac{2}{3}t,\qquad \frac{3}{7}s=1-t \] 第 2 式から $s=\dfrac{7(1-t)}{3}$．第 1 式に代入して $3-7+7t=2t$ より $t=\dfrac{4}{5}$，$s=\dfrac{7}{15}$ よって $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{8}{15}\vec{a}+\dfrac{1}{5}\vec{b}=\dfrac{8\vec{a}+3\vec{b}}{15}$ $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{OP}$ 上にあるから $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{8k}{15}\vec{a}+\dfrac{3k}{15}\vec{b}$．$\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{AB}$ 上にあるから係数の和は 1 で \[ \frac{8k}{15}+\frac{3k}{15}=1 \quad\text{より}\quad k=\frac{15}{11} \] よって $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{8\vec{a}+3\vec{b}}{11}$（$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{AB}$ を $3:8$ に内分する点）