法線ベクトルで垂線の足と長さを求める（B）

(1) $\mathrm{P}$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする．$\vec{n}$ は $\ell$ の法線ベクトルであり，$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$ は $\vec{n}$ に平行または $\vec{0}$ であるから，$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=t\vec{n}$ となる実数 $t$ がある．よって $\mathrm{H}(x_0+ta,\,y_0+tb)$．$\mathrm{H}$ は $\ell$ 上にあるから \[ a(x_0+ta)+b(y_0+tb)+c=0 \quad\text{より}\quad (a^2+b^2)t=-(ax_0+by_0+c) \] $\ell$ は直線であるから $(a,\,b)\neq(0,\,0)$ で，$a^2+b^2\neq 0$ より \[ t=-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} \] よって \[ d=|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|=|t|\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \] \hfill 終 (2) $d=\dfrac{|3\cdot 2-4\cdot(-1)+5|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{15}{5}=3$