法線ベクトルで垂線の足と長さを求める（A）

$\ell$ の法線ベクトルの 1 つは $\vec{n}=(2,\,1)$ である．$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$ は $\vec{n}$ に平行であるから，実数 $t$ を用いて \[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\vec{n}=(3+2t,\,4+t) \] と表せる．$\mathrm{H}$ は $\ell$ 上にあるから \[ 2(3+2t)+(4+t)-5=0 \quad\text{より}\quad 5t+5=0,\ t=-1 \] よって $\mathrm{H}(1,\,3)$ また，$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=t\vec{n}=-\vec{n}$ であるから $\mathrm{PH}=|\vec{n}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$