法線ベクトルと直線の方程式・なす角（B）

(1) 直線上の点を $\mathrm{P}(x,\,y)$ とすると $\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0$ より \[ 3(x+1)+2(y-4)=0 \quad\text{すなわち}\quad 3x+2y-5=0 \] (2) 法線ベクトルは $\vec{n_1}=(\sqrt{3},\,-1)$，$\vec{n_2}=(1,\,-\sqrt{3})$ である．そのなす角を $\alpha$ とすると \[ \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \] $0^\circ\leqq\alpha\leqq 180^\circ$ より $\alpha=30^\circ$．2 直線のなす角は $\alpha$ またはその補角のうち $90^\circ$ 以下のものであるから $\theta=30^\circ$ （直線 $\sqrt{3}x-y=0$ の傾きは $\sqrt{3}$ で $x$ 軸と $60^\circ$，直線 $x-\sqrt{3}y+2=0$ の傾きは $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で $x$ 軸と $30^\circ$ をなすことからも確かめられる．）