法線ベクトルと直線の方程式・なす角（A）

(1) 直線上の点を $\mathrm{P}(x,\,y)$ とすると $\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0$ より \[ 1\cdot(x-2)-2(y-3)=0 \quad\text{すなわち}\quad x-2y+4=0 \] (2) 2 直線の法線ベクトルはそれぞれ $\vec{n_1}=(1,\,-2)$，$\vec{n_2}=(3,\,-1)$ である．2 直線のなす角は，法線ベクトルのなす角 $\alpha$ またはその補角に等しい． \[ \cos\alpha=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{3+2}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \] $0^\circ\leqq\alpha\leqq 180^\circ$ より $\alpha=45^\circ$．$\alpha\leqq 90^\circ$ であるから $\theta=\alpha=45^\circ$