点と方向ベクトルから直線を媒介変数で表す（A）

(1) 直線上の点を $\mathrm{P}(x,\,y)$ とし，点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$，$\vec{p}$ とすると，直線のベクトル方程式は，$t$ を媒介変数として $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$ であるから \[ (x,\,y)=(2,\,1)+t(3,\,-1) \quad\text{すなわち}\quad x=2+3t,\ y=1-t \] 第 2 式から $t=1-y$．第 1 式に代入して $x=5-3y$，すなわち $x+3y-5=0$ (2) 直線上の点を $\mathrm{P}(x,\,y)$ とし，点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{p}$ とすると，$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ であるから \[ (x,\,y)=(1-t)(1,\,3)+t(4,\,-1) \quad\text{すなわち}\quad x=1+3t,\ y=3-4t \] $t=\dfrac{x-1}{3}$ を代入して $y=3-\dfrac{4(x-1)}{3}$，すなわち $4x+3y-13=0$