内積の値から三角形の形を調べる（B）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ は三角形の辺を表すから，いずれも $\vec{0}$ ではない． (1) $\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}|^2$ より $\vec{b}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$，すなわち $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$．よって $\mathrm{AB}\perp\mathrm{BC}$ であり，$\angle\mathrm{B}=90^\circ$ の直角三角形である． (2) 両辺を 2 乗して \[ |\vec{b}|^2+2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^2=|\vec{b}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^2 \] よって $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$ で $\mathrm{AB}\perp\mathrm{AC}$．$\angle\mathrm{A}=90^\circ$ の直角三角形である． （$\vec{b}+\vec{c}$，$\vec{b}-\vec{c}$ は $\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$ を 2 辺とする平行四辺形の対角線を表し，対角線の長さが等しい平行四辺形は長方形であることからもわかる．）