内積の値から三角形の形を調べる（A）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$ とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=-\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{c}-\vec{b}$ であるから，条件式は \[ \vec{b}\cdot\vec{c}=-\vec{b}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=-\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{b}|^2 \quad\text{よって}\quad 2\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}|^2 \] このとき \[ \mathrm{BC}^2=|\vec{c}-\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=\mathrm{CA}^2 \] よって $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}$ であり，$\triangle\mathrm{ABC}$ は $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}$ の二等辺三角形である． （別解）$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}})=0$ で，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{MC}}$（$\mathrm{M}$ は $\mathrm{AB}$ の中点）より $\mathrm{AB}\perp\mathrm{MC}$ としてもよい．