外心を始点とするベクトルの等式と角（B）

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とすると $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ (1) $\vec{a}+\vec{b}=-\sqrt{2}\,\vec{c}$ の両辺の大きさの 2 乗をとると $|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=2|\vec{c}|^2$ より $2+2\vec{a}\cdot\vec{b}=2$，よって $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ であるから $\cos\angle\mathrm{AOB}=0$ で，$0^\circ\leqq\angle\mathrm{AOB}\leqq180^\circ$ より $\angle\mathrm{AOB}=90^\circ$ $\vec{b}+\sqrt{2}\,\vec{c}=-\vec{a}$ より $1+2\sqrt{2}\,\vec{b}\cdot\vec{c}+2=1$，よって $\vec{b}\cdot\vec{c}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから $\cos\angle\mathrm{BOC}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で，$0^\circ\leqq\angle\mathrm{BOC}\leqq180^\circ$ より $\angle\mathrm{BOC}=135^\circ$ （同様に $\angle\mathrm{COA}=135^\circ$ である．） (2) 辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ であり，$\vec{a}+\vec{b}=-\sqrt{2}\,\vec{c}$ より $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\sqrt{2}\,\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ である．よって，$\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{CM}$ 上（端点を除く）にあるから，$\mathrm{O}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部にあり，$\mathrm{C}$ と $\mathrm{O}$ は直線 $\mathrm{AB}$ に関して同じ側にある．円周角の定理より \[ \angle\mathrm{ACB}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}=45^\circ \] (3) \[ \triangle\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}(\sin 90^\circ+\sin 135^\circ+\sin 135^\circ)=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{2}\right)=\frac{1+\sqrt{2}}{2} \]