外心を始点とするベクトルの等式と角（A）

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とすると $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ である． (1) $3\vec{a}+4\vec{b}=-5\vec{c}$ の両辺の大きさの 2 乗をとると \[ 9+24\vec{a}\cdot\vec{b}+16=25 \quad\text{より}\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=0 \] $4\vec{b}+5\vec{c}=-3\vec{a}$ から $16+40\vec{b}\cdot\vec{c}+25=9$ より $\vec{b}\cdot\vec{c}=-\dfrac{4}{5}$ $5\vec{c}+3\vec{a}=-4\vec{b}$ から $25+30\vec{c}\cdot\vec{a}+9=16$ より $\vec{c}\cdot\vec{a}=-\dfrac{3}{5}$ (2) $3\vec{a}+4\vec{b}+5\vec{c}=\vec{0}$ より \[ \vec{c}=-\frac{3\vec{a}+4\vec{b}}{5}=-\frac{7}{5}\cdot\frac{3\vec{a}+4\vec{b}}{7} \] 辺 $\mathrm{AB}$ を $4:3$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{3\vec{a}+4\vec{b}}{7}$ であるから $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\dfrac{7}{5}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ よって，$\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{CD}$ 上（端点を除く）にあり，$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{AB}$ 上（端点を除く）にあるから，$\mathrm{O}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部にある．したがって \[ \triangle\mathrm{ABC}=\triangle\mathrm{OAB}+\triangle\mathrm{OBC}+\triangle\mathrm{OCA} \] $\cos\angle\mathrm{AOB}=0$，$\cos\angle\mathrm{BOC}=-\dfrac{4}{5}$，$\cos\angle\mathrm{COA}=-\dfrac{3}{5}$ であり，これらの角はいずれも $0^\circ$ より大きく $180^\circ$ より小さいから，正弦は正である．よって，それぞれの正弦は $1$，$\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{4}{5}$ である． \[ \triangle\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\right)=\frac{6}{5} \]