ベクトルで線分の垂直を証明する（B）

$\mathrm{A}$ を始点として $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ とすると，条件式は \[ |\vec{b}|^2+|\vec{d}-\vec{c}|^2=|\vec{d}|^2+|\vec{c}-\vec{b}|^2 \] 展開すると \[ |\vec{b}|^2+|\vec{d}|^2-2\vec{c}\cdot\vec{d}+|\vec{c}|^2=|\vec{d}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{b}|^2 \] よって $\vec{c}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{c}$，すなわち \[ \vec{c}\cdot(\vec{d}-\vec{b})=0 \quad\text{つまり}\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0 \] $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\neq\vec{0}$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}\neq\vec{0}$ であるから $\mathrm{AC}\perp\mathrm{BD}$ である． \hfill 終