ベクトルで線分の垂直を証明する（A）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ とすると，正方形であるから \[ |\vec{b}|=|\vec{d}|,\qquad \vec{b}\cdot\vec{d}=0 \] $\mathrm{BE}=\mathrm{CF}=k\,\mathrm{AB}$（$0\leqq k\leqq 1$）とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}=k\vec{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{CF}}=-k\vec{b}$ であるから \[ \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{b}+k\vec{d},\qquad \overrightarrow{\mathrm{BF}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\vec{d}-k\vec{b} \] よって \[ \overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BF}}=\vec{b}\cdot\vec{d}-k|\vec{b}|^2+k|\vec{d}|^2-k^2\vec{d}\cdot\vec{b}=0 \] $\overrightarrow{\mathrm{AE}}\neq\vec{0}$，$\overrightarrow{\mathrm{BF}}\neq\vec{0}$ であるから $\mathrm{AE}\perp\mathrm{BF}$ である． \hfill 終