ベクトルで線分の長さの等式を証明する（B）

$\mathrm{G}$ を始点とする位置ベクトルを $\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\vec{c}$ とすると，$\mathrm{G}$ の位置ベクトルは $\vec{0}$ で，$\mathrm{G}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心であるから $\vec{0}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ である．よって \[ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} \] よって $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2=0$ より \[ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})=0 \quad\cdots\text{①} \] 一方 \[ \mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2+|\vec{c}-\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{c}|^2=2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)-2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) \] ① を用いると \[ =2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)+(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)=3(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2) \] \hfill 終