ベクトルで線分の長さの等式を証明する（A）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2},\qquad \overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{\vec{c}-\vec{b}}{2} \] よって \[ 2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2)=2\cdot\frac{|\vec{b}+\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{b}|^2}{4}=\frac{(|\vec{b}|^2+2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^2)+(|\vec{b}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^2)}{2}=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 \] これは $\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2$ に等しい． \hfill 終