外心の位置ベクトル（垂直二等分線の条件）（B）

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 3\cos 120^\circ=-3$．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおく． 辺 $\mathrm{OA}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると，$\mathrm{PM}\perp\mathrm{OA}$ であるから $\overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\vec{a}=0$ である．よって \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{a}=(\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{MP}})\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}|\vec{a}|^2+\overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}|\vec{a}|^2 \] 辺 $\mathrm{OB}$ の中点を $\mathrm{N}$ とすると，$\mathrm{PN}\perp\mathrm{OB}$ であるから，$\mathrm{M}$ のときと同様にして $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{2}|\vec{b}|^2$ $|\vec{a}|^2=4$，$|\vec{b}|^2=9$ であるから \[ 4s-3t=2,\qquad -3s+9t=\frac{9}{2} \] 第 1 式を 3 倍して加えると $9s=\dfrac{21}{2}$ より $s=\dfrac{7}{6}$．このとき $t=\dfrac{8}{9}$ よって $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{7}{6}\vec{a}+\dfrac{8}{9}\vec{b}$ (2) \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=\frac{49}{36}\cdot 4+2\cdot\frac{7}{6}\cdot\frac{8}{9}\cdot(-3)+\frac{64}{81}\cdot 9=\frac{49}{9}-\frac{56}{9}+\frac{64}{9}=\frac{19}{3} \] よって半径は $\sqrt{\dfrac{19}{3}}=\dfrac{\sqrt{57}}{3}$ （正弦定理で確かめると，$\mathrm{AB}^2=4+9+6=19$ より $\dfrac{\sqrt{19}}{2\sin 120^\circ}=\dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}}$ となり一致する．）