外心の位置ベクトル（垂直二等分線の条件）（A）

$\vec{a}\cdot\vec{b}=4\cdot 3\cos 60^\circ=6$ である．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおく． 辺 $\mathrm{OA}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると，$\mathrm{PM}\perp\mathrm{OA}$ であるから $\overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\vec{a}=0$ である．よって \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{a}=(\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{MP}})\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}|\vec{a}|^2+\overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}|\vec{a}|^2 \] 辺 $\mathrm{OB}$ の中点を $\mathrm{N}$ とすると，$\mathrm{PN}\perp\mathrm{OB}$ であるから，$\mathrm{M}$ のときと同様にして $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{2}|\vec{b}|^2$ $|\vec{a}|^2=16$，$|\vec{b}|^2=9$ であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{a}=16s+6t$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{b}=6s+9t$ であるから \[ 16s+6t=8,\qquad 6s+9t=\frac{9}{2} \] 第 1 式を $\dfrac{3}{2}$ 倍すると $24s+9t=12$．第 2 式を引いて $18s=\dfrac{15}{2}$，$s=\dfrac{5}{12}$．このとき $t=\dfrac{2}{9}$ よって $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{5}{12}\vec{a}+\dfrac{2}{9}\vec{b}$