内心・傍心の位置ベクトル（角の二等分線）（B）

(1) $\angle\mathrm{AOB}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{D}$ とすると，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=5:3$ であるから \[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{3\vec{a}+5\vec{b}}{8},\qquad \mathrm{AD}=7\cdot\frac{5}{8}=\frac{35}{8} \] $\mathrm{AI}$ は $\angle\mathrm{OAD}$ の二等分線であるから $\mathrm{OI}:\mathrm{ID}=\mathrm{AO}:\mathrm{AD}=5:\dfrac{35}{8}=8:7$．よって \[ \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{3\vec{a}+5\vec{b}}{15} \] (2) 傍心 $\mathrm{J}$ は $\angle\mathrm{AOB}$ の二等分線上にあるから直線 $\mathrm{OD}$ 上にあり，$\mathrm{AJ}$ は $\angle\mathrm{A}$ の外角の二等分線である．外角の二等分線の性質から，$\mathrm{J}$ は線分 $\mathrm{OD}$ を $\mathrm{AO}:\mathrm{AD}=8:7$ に外分する点である．よって \[ \overrightarrow{\mathrm{OJ}}=\frac{-7\cdot\vec{0}+8\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{8-7}=8\overrightarrow{\mathrm{OD}}=3\vec{a}+5\vec{b} \]