内心・傍心の位置ベクトル（角の二等分線）（A）

$\angle\mathrm{AOB}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{D}$ とすると，角の二等分線の性質から \[ \mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=6:4=3:2 \] よって $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{2\vec{a}+3\vec{b}}{5}$，$\mathrm{AD}=5\cdot\dfrac{3}{5}=3$ 内心 $\mathrm{I}$ は $\angle\mathrm{OAB}$ の二等分線と線分 $\mathrm{OD}$ の交点であるから \[ \mathrm{OI}:\mathrm{ID}=\mathrm{AO}:\mathrm{AD}=6:3=2:1 \] したがって \[ \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2\vec{a}+3\vec{b}}{5}=\frac{4\vec{a}+6\vec{b}}{15} \]