垂心の位置ベクトル（内積の条件）（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 垂心の位置ベクトル（内積の条件）（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\triangle\mathrm{OAB}$ において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{AB}=\sqrt{13}$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とするとき，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めよ．
\item[(2)] $\triangle\mathrm{OAB}$ の垂心を $\mathrm{H}$ とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$ で表せ．
\end{enumerate}
(1) $|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$ より $13=16-2\vec{a}\cdot\vec{b}+9$．よって $\vec{a}\cdot\vec{b}=6$
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおく．$\mathrm{H}$ は垂心であるから，$\mathrm{AH}\perp\mathrm{OB}$，$\mathrm{BH}\perp\mathrm{OA}$ である．
$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{b}=0$ より $\{(s-1)\vec{a}+t\vec{b}\}\cdot\vec{b}=6(s-1)+9t=0$，すなわち $2s+3t=2$
$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\vec{a}=0$ より $\{s\vec{a}+(t-1)\vec{b}\}\cdot\vec{a}=16s+6(t-1)=0$，すなわち $8s+3t=3$
2 式を引いて $6s=1$ より $s=\dfrac{1}{6}$，$t=\dfrac{5}{9}$
よって $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\dfrac{1}{6}\vec{a}+\dfrac{5}{9}\vec{b}$
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