垂心の位置ベクトル（内積の条件）（A）

$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot 2\cos 60^\circ=3$，$|\vec{a}|^2=9$，$|\vec{b}|^2=4$ である．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおく． $\mathrm{AH}\perp\mathrm{OB}$ より $\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{b}=0$．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=(s-1)\vec{a}+t\vec{b}$ であるから \[ 3(s-1)+4t=0 \quad\cdots\text{①} \] $\mathrm{BH}\perp\mathrm{OA}$ より $\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\vec{a}=0$．$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=s\vec{a}+(t-1)\vec{b}$ であるから \[ 9s+3(t-1)=0 \quad\text{すなわち}\quad 3s+t=1 \quad\cdots\text{②} \] ①，② より $3t=2$ で $t=\dfrac{2}{3}$，$s=\dfrac{1}{9}$ よって $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\dfrac{1}{9}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}$