2本の線分の交点を位置ベクトルで表す（A）

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\dfrac{2}{3}\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{1}{3}\vec{b}$ である． $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AD}$ 上にあるから，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+\frac{s}{3}\vec{b} \] $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BC}$ 上にあるから，$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2t}{3}\vec{a}+(1-t)\vec{b} \] $\vec{a}$，$\vec{b}$ は $\vec{0}$ でなく平行でないから，係数を比較して \[ 1-s=\frac{2t}{3},\qquad \frac{s}{3}=1-t \] 第 2 式から $s=3-3t$．第 1 式に代入して $3t-2=\dfrac{2t}{3}$ より $t=\dfrac{6}{7}$，$s=\dfrac{3}{7}$ よって $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{4}{7}\vec{a}+\dfrac{1}{7}\vec{b}$