3点が一直線上にある条件（ベクトル）（B）

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{3}\vec{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} \] \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b},\qquad \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{1}{3}\vec{a}+k\vec{b} \] 3 点が一直線上にあるのは $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=t\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ となる実数 $t$ があるときである．$\vec{a}$，$\vec{b}$ は $\vec{0}$ でなく平行でないから，係数を比較して \[ -\frac{1}{3}=\frac{t}{6},\qquad k=\frac{t}{2} \] よって $t=-2$，$k=-1$ （$\mathrm{R}$ は辺 $\mathrm{OB}$ を $1:2$ に外分する点である．）