3点が一直線上にある条件（ベクトル）（A）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\vec{b}$ であるから \[ \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\vec{d}+\frac{1}{3}\vec{b}=\frac{\vec{b}+3\vec{d}}{3} \] また，$\mathrm{F}$ は $\mathrm{BD}$ を $3:1$ に内分するから \[ \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\frac{1\cdot\vec{b}+3\vec{d}}{3+1}=\frac{\vec{b}+3\vec{d}}{4} \] よって $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ であり，3 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{E}$ は一直線上にある． また $\mathrm{AF}:\mathrm{AE}=3:4$ より $\mathrm{AF}:\mathrm{FE}=3:1$