2つの点の位置ベクトルが一致することの証明（A）

点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，$\vec{d}$ とすると \[ \vec{p}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2},\quad \vec{q}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2},\quad \vec{r}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2},\quad \vec{s}=\frac{\vec{d}+\vec{a}}{2} \] 線分 $\mathrm{PR}$ の中点の位置ベクトルは \[ \frac{\vec{p}+\vec{r}}{2}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4} \] 線分 $\mathrm{QS}$ の中点の位置ベクトルは \[ \frac{\vec{q}+\vec{s}}{2}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4} \] 両者は等しいから，2 つの中点は一致する． \hfill 終 （このことから，四角形 $\mathrm{PQRS}$ は対角線がそれぞれの中点で交わるので平行四辺形である．）