ベクトルの等式で決まる点と面積比（B）

(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}$ とすると \[ -3\vec{p}+2(\vec{b}-\vec{p})+(\vec{c}-\vec{p})=\vec{0} \quad\text{より}\quad \vec{p}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3} \] $\dfrac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点 $\mathrm{D}$ を表すから，$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AD}$ の中点である． (2) $\triangle\mathrm{ABC}=S$ とすると，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=1:1$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=1:2$ より \[ \triangle\mathrm{PBC}=\frac{1}{2}S,\quad \triangle\mathrm{PCA}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}S=\frac{1}{3}S,\quad \triangle\mathrm{PAB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{1}{6}S \] よって $\triangle\mathrm{PBC}:\triangle\mathrm{PCA}:\triangle\mathrm{PAB}=3:2:1$