ベクトルの等式で決まる点と面積比（A）

(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}$ とすると，等式は \[ -2\vec{p}+3(\vec{b}-\vec{p})+4(\vec{c}-\vec{p})=\vec{0} \quad\text{より}\quad \vec{p}=\frac{3\vec{b}+4\vec{c}}{9}=\frac{7}{9}\cdot\frac{3\vec{b}+4\vec{c}}{7} \] $\dfrac{3\vec{b}+4\vec{c}}{7}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $4:3$ に内分する点 $\mathrm{D}$ の位置ベクトルである．よって，点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $4:3$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とするとき，線分 $\mathrm{AD}$ を $7:2$ に内分する点である． (2) $\triangle\mathrm{ABC}=S$ とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=7:2$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=4:3$ であるから \[ \triangle\mathrm{PBC}=\frac{2}{9}S,\quad \triangle\mathrm{PCA}=\frac{7}{9}\triangle\mathrm{ADC}=\frac{7}{9}\cdot\frac{3}{7}S=\frac{3}{9}S,\quad \triangle\mathrm{PAB}=\frac{7}{9}\triangle\mathrm{ABD}=\frac{7}{9}\cdot\frac{4}{7}S=\frac{4}{9}S \] よって $\triangle\mathrm{PBC}:\triangle\mathrm{PCA}:\triangle\mathrm{PAB}=2:3:4$