内分点と重心をベクトルで表す（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 内分点と重心をベクトルで表す（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
2 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $3:2$ に内分する点を $\mathrm{P}$，外分する点を $\mathrm{Q}$ とする．次の点の位置ベクトルを $\vec{a}$，$\vec{b}$ で表せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$
\item[(2)] 線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{M}$
\item[(3)] 原点 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$ を頂点とする $\triangle\mathrm{OAQ}$ の重心 $\mathrm{G}$
\end{enumerate}
点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{G}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p}$，$\vec{q}$，$\vec{m}$，$\vec{g}$ とする．
(1) $\vec{p}=\dfrac{2\vec{a}+3\vec{b}}{3+2}=\dfrac{2\vec{a}+3\vec{b}}{5}$，$\vec{q}=\dfrac{-2\vec{a}+3\vec{b}}{3-2}=-2\vec{a}+3\vec{b}$
(2)
\[ \vec{m}=\frac{1}{2}\left(\frac{2\vec{a}+3\vec{b}}{5}-2\vec{a}+3\vec{b}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{-8\vec{a}+18\vec{b}}{5}=\frac{-4\vec{a}+9\vec{b}}{5} \]
(3) $\vec{g}=\dfrac{\vec{0}+\vec{a}+(-2\vec{a}+3\vec{b})}{3}=\dfrac{-\vec{a}+3\vec{b}}{3}$
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