内分点と重心をベクトルで表す（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 内分点と重心をベクトルで表す（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ の頂点の位置ベクトルを $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$，$\mathrm{C}(\vec{c})$ とする．辺 $\mathrm{BC}$ を $3:1$ に内分する点を $\mathrm{P}$，辺 $\mathrm{AC}$ を $3:1$ に外分する点を $\mathrm{Q}$ とするとき，次の点の位置ベクトルを $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 点 $\mathrm{P}$
\item[(2)] 点 $\mathrm{Q}$
\item[(3)] $\triangle\mathrm{APQ}$ の重心 $\mathrm{G}$
\end{enumerate}
点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{G}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p}$，$\vec{q}$，$\vec{g}$ とする．
(1) $\vec{p}=\dfrac{1\cdot\vec{b}+3\vec{c}}{3+1}=\dfrac{\vec{b}+3\vec{c}}{4}$
(2) $\vec{q}=\dfrac{-1\cdot\vec{a}+3\vec{c}}{3-1}=\dfrac{-\vec{a}+3\vec{c}}{2}$
(3)
\[ \vec{g}=\frac{1}{3}\left(\vec{a}+\frac{\vec{b}+3\vec{c}}{4}+\frac{-\vec{a}+3\vec{c}}{2}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{4\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}-2\vec{a}+6\vec{c}}{4}=\frac{2\vec{a}+\vec{b}+9\vec{c}}{12} \]
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