内積を利用して 1 次式の最大・最小を求める（B）

$u=2x$，$v=3y$ とおくと $u^2+v^2=36$，$2x+3y=u+v$ である． $\vec{p}=(1,\,1)$，$\vec{q}=(u,\,v)$ とすると $|\vec{p}|=\sqrt{2}$，$|\vec{q}|=6$ で，なす角を $\theta$ とすると \[ 2x+3y=\vec{p}\cdot\vec{q}=6\sqrt{2}\cos\theta \] $-1\leqq\cos\theta\leqq 1$ より $-6\sqrt{2}\leqq 2x+3y\leqq 6\sqrt{2}$ 最大となるのは $\vec{q}$ が $\vec{p}$ と同じ向きのときで，$\vec{q}=6\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1)=(3\sqrt{2},\,3\sqrt{2})$．このとき $x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，$y=\sqrt{2}$ 最小となるのは $\vec{q}$ が $\vec{p}$ と反対向きのときで，$\vec{q}=(-3\sqrt{2},\,-3\sqrt{2})$．このとき $x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，$y=-\sqrt{2}$ したがって，$2x+3y$ は $x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，$y=\sqrt{2}$ のとき最大値 $6\sqrt{2}$ をとり，$x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，$y=-\sqrt{2}$ のとき最小値 $-6\sqrt{2}$ をとる．