内積を利用して 1 次式の最大・最小を求める（A）

$\vec{p}=(3,\,4)$，$\vec{q}=(x,\,y)$ とおくと，$|\vec{p}|=5$，$|\vec{q}|=2$ で \[ 3x+4y=\vec{p}\cdot\vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta=10\cos\theta \] （$\theta$ は $\vec{p}$，$\vec{q}$ のなす角）．$-1\leqq\cos\theta\leqq 1$ より $-10\leqq 3x+4y\leqq 10$ 最大値 $10$ をとるのは $\theta=0^\circ$，すなわち $\vec{q}$ が $\vec{p}$ と同じ向きのときで \[ \vec{q}=2\cdot\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}=\left(\frac{6}{5},\,\frac{8}{5}\right) \] 最小値 $-10$ をとるのは $\vec{q}$ が $\vec{p}$ と反対向きのときで $\vec{q}=\left(-\dfrac{6}{5},\,-\dfrac{8}{5}\right)$ したがって，$3x+4y$ は $x=\dfrac{6}{5}$，$y=\dfrac{8}{5}$ のとき最大値 $10$ をとり，$x=-\dfrac{6}{5}$，$y=-\dfrac{8}{5}$ のとき最小値 $-10$ をとる．