成分の不等式をベクトルを利用して証明する（B）

$\vec{p}=(a,\,b)$，$\vec{q}=(c,\,d)$ とおくと，$\vec{p}+\vec{q}=(a+c,\,b+d)$ であるから，示すべき不等式は \[ |\vec{p}|+|\vec{q}|\geqq|\vec{p}+\vec{q}| \] である．両辺は 0 以上であるから，2 乗の差を考えると \[ (|\vec{p}|+|\vec{q}|)^2-|\vec{p}+\vec{q}|^2=2(|\vec{p}||\vec{q}|-\vec{p}\cdot\vec{q}) \] $\vec{p}\cdot\vec{q}\leqq|\vec{p}||\vec{q}|$ であるから，これは 0 以上である．よって不等式は成り立つ． 等号は $\vec{p}\cdot\vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|$，すなわち $\vec{p}$，$\vec{q}$ の一方が $\vec{0}$ であるか，同じ向きのときに成り立つ．$\vec{p}\neq\vec{0}$，$\vec{q}\neq\vec{0}$ のとき，$\vec{p}$ と $\vec{q}$ が平行であることは成分で $ad-bc=0$ と表され，平行なときは $\vec{p}\cdot\vec{q}=\pm|\vec{p}||\vec{q}|$ であるから，同じ向きであることは $\vec{p}\cdot\vec{q}=ac+bd>0$ と同値である．一方が $\vec{0}$ のときは $ad=bc$，$ac+bd=0$ が成り立つ．よって，成分で書くと「$ad=bc$ かつ $ac+bd\geqq 0$」である． （図形的には，三角形の 2 辺の長さの和が他の 1 辺より大きいことを表している．）