成分の不等式をベクトルを利用して証明する（A）

$\vec{p}=\vec{0}$ または $\vec{q}=\vec{0}$ のときは両辺とも 0 で，等号が成り立つ． $\vec{p}\neq\vec{0}$，$\vec{q}\neq\vec{0}$ のとき，$\vec{p}$，$\vec{q}$ のなす角を $\theta$ とすると \[ \vec{p}\cdot\vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta \] 両辺を 2 乗すると，$\cos^2\theta\leqq 1$ より \[ (\vec{p}\cdot\vec{q})^2=|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2\cos^2\theta\leqq|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2 \] ここで $\vec{p}\cdot\vec{q}=ax+by$，$|\vec{p}|^2=a^2+b^2$，$|\vec{q}|^2=x^2+y^2$ であるから \[ (ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2) \] 等号は $\cos^2\theta=1$，すなわち $\vec{p}$ と $\vec{q}$ が平行（$\theta=0^\circ$ または $180^\circ$）のときに成り立つ．$\vec{p}\neq\vec{0}$，$\vec{q}\neq\vec{0}$ のとき，$\vec{p}$ と $\vec{q}$ が平行であることは，成分で $ay-bx=0$ と表される．また，$\vec{p}=\vec{0}$ または $\vec{q}=\vec{0}$ のときも $ay=bx$ が成り立つ．よって，等号が成り立つ条件は \[ ay=bx \] である．