ベクトルの大きさの不等式を内積で証明する（B）

(i) $|\vec{a}|-|\vec{b}|<0$ のとき，右辺は 0 以上であるから成り立つ． (ii) $|\vec{a}|-|\vec{b}|\geqq 0$ のとき，両辺とも 0 以上であるから，2 乗の差を考える． \[ |\vec{a}+\vec{b}|^2-(|\vec{a}|-|\vec{b}|)^2=(|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2)-(|\vec{a}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|+|\vec{b}|^2)=2(\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{a}||\vec{b}|) \] $\vec{a}=\vec{0}$ または $\vec{b}=\vec{0}$ のときは $\vec{a}\cdot\vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|=0$ である．$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$ のときは，$\vec{a}$，$\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\geqq-|\vec{a}||\vec{b}|$ である．いずれの場合も $\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{a}||\vec{b}|\geqq 0$ であるから，これは 0 以上である．よって $(|\vec{a}|-|\vec{b}|)^2\leqq|\vec{a}+\vec{b}|^2$ となり，不等式が成り立つ． (i)，(ii) より，$|\vec{a}|-|\vec{b}|\leqq|\vec{a}+\vec{b}|$ である． \hfill 終