ベクトルの大きさの不等式を内積で証明する（A）

両辺とも 0 以上であるから，両辺の 2 乗の差を考える． \[ (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2-|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|+|\vec{b}|^2-(|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2)=2(|\vec{a}||\vec{b}|-\vec{a}\cdot\vec{b}) \] $\vec{a}=\vec{0}$ または $\vec{b}=\vec{0}$ のときは $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|=0$ である．$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$ のときは，$\vec{a}$，$\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\leqq|\vec{a}||\vec{b}|$ である．いずれの場合も \[ |\vec{a}||\vec{b}|-\vec{a}\cdot\vec{b}\geqq 0 \] よって $|\vec{a}+\vec{b}|^2\leqq(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2$ となり，$|\vec{a}+\vec{b}|\leqq|\vec{a}|+|\vec{b}|$ が成り立つ． 等号が成り立つのは $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$ のとき，すなわち $\vec{a}$，$\vec{b}$ の一方が $\vec{0}$ であるか，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が同じ向き（$\theta=0^\circ$）のときである．