内積で三角形の面積を表す（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 内積で三角形の面積を表す（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\triangle\mathrm{OAB}$ において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とし，$|\vec{a}|=3$，$|\vec{b}|=4$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=6$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積 $S$ は $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$ で表されることを示せ．
\item[(2)] $S$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\angle\mathrm{AOB}=\theta$ とすると $S=\dfrac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$．$0^\circ<\theta<180^\circ$ より $\sin\theta>0$ であるから
\[ S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} \]
(2) $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{9\cdot 16-36}=\dfrac{1}{2}\sqrt{108}=3\sqrt{3}$
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