すべての t で成り立つ大きさの不等式（B）

$\vec{a}\cdot\vec{b}=k$ とおき，$f(t)=|\vec{a}-t\vec{b}|^2$ とすると \[ f(t)=4t^2-2kt+9=4\left(t-\frac{k}{4}\right)^2+9-\frac{k^2}{4} \] $|\vec{a}-t\vec{b}|\geqq 0$，$|\vec{a}-\vec{b}|\geqq 0$ であるから，条件は「すべての実数 $t$ に対して $f(t)\geqq f(1)$」，すなわち $f(t)$ が $t=1$ で最小となることである．$f(t)$ は $t=\dfrac{k}{4}$ のときに限り最小となるから \[ \frac{k}{4}=1 \quad\text{よって}\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=4 \] このとき $\cos\theta=\dfrac{4}{3\cdot 2}=\dfrac{2}{3}$（$|k|=4\leqq|\vec{a}||\vec{b}|=6$ を満たしており，このような $\vec{a}$，$\vec{b}$ は存在する）．