すべての t で成り立つ大きさの不等式（A）

$\vec{a}\cdot\vec{b}=k$ とおく．両辺は 0 以上であるから，与えられた不等式は 2 乗した \[ |\vec{a}+t\vec{b}|^2\geqq 3 \quad\text{すなわち}\quad t^2+2kt+4\geqq 3 \] と同値である．よって，すべての実数 $t$ について $t^2+2kt+1\geqq 0$ が成り立つ条件を求めればよい． $t^2$ の係数は正であるから，判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=k^2-1\leqq 0$．よって $-1\leqq k\leqq 1$ $\cos\theta=\dfrac{k}{2\cdot 1}$ であるから $-\dfrac{1}{2}\leqq\cos\theta\leqq\dfrac{1}{2}$．よって $60^\circ\leqq\theta\leqq 120^\circ$