|a+tb| の最小（内積を使って展開）（B）

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot 2\cos 120^\circ=-3$ であるから \[ |\vec{a}+t\vec{b}|^2=9-6t+4t^2=4\left(t-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{27}{4} \] よって $t=\dfrac{3}{4}$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|^2$ は最小値 $\dfrac{27}{4}$ をとる．$|\vec{a}+t\vec{b}|\geqq 0$ であるから，$|\vec{a}+t\vec{b}|$ は $t=\dfrac{3}{4}$ のとき最小値 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ をとる． (2) $t=\dfrac{3}{4}$ のとき \[ \left(\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}\right)\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{3}{4}|\vec{b}|^2=-3+3=0 \] $\vec{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}\neq\vec{0}$（(1) より大きさは $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$），$\vec{b}\neq\vec{0}$ であるから，$\vec{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}$ と $\vec{b}$ は垂直である．（$\vec{a}+t\vec{b}$ の終点は $\vec{a}$ の終点を通り $\vec{b}$ に平行な直線上を動き，原点からこの直線に下ろした垂線の足で大きさが最小になる．）