|a+tb| の最小（内積を使って展開）（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: |a+tb| の最小（内積を使って展開）（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=1$ で，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ のとき，$|\vec{a}+t\vec{b}|$（$t$ は実数）の最小値と，そのときの $t$ の値を求めよ．
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 1\cdot\cos 60^\circ=1$ であるから
\[ |\vec{a}+t\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2t\,\vec{a}\cdot\vec{b}+t^2|\vec{b}|^2=t^2+2t+4=(t+1)^2+3 \]
よって $|\vec{a}+t\vec{b}|^2$ は $t=-1$ のとき最小値 $3$ をとる．$|\vec{a}+t\vec{b}|\geqq 0$ であるから，$|\vec{a}+t\vec{b}|$ は $t=-1$ のとき最小値 $\sqrt{3}$ をとる．
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