条件から内積を求め，なす角や大きさを調べる（B）

(1) $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(5\vec{a}-2\vec{b})=0$ より \[ 5|\vec{a}|^2+3\vec{a}\cdot\vec{b}-2|\vec{b}|^2=0 \quad\text{すなわち}\quad 5+3\vec{a}\cdot\vec{b}-8=0 \] よって $\vec{a}\cdot\vec{b}=1$．$\cos\theta=\dfrac{1}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{2}$ で，$0^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ であるから $\theta=60^\circ$ (2) $|\vec{a}-2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=1-4+16=13$．$|\vec{a}-2\vec{b}|\geqq 0$ であるから $|\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{13}$ (3) $(\vec{a}+t\vec{b})\cdot(2\vec{a}-\vec{b})=2|\vec{a}|^2+(2t-1)\vec{a}\cdot\vec{b}-t|\vec{b}|^2=2+(2t-1)-4t=1-2t$ これが $0$ となるのは $t=\dfrac{1}{2}$