条件から内積を求め，なす角や大きさを調べる（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 条件から内積を求め，なす角や大きさを調べる（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=3$，$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{7}$ のとき，次のものを求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$
\item[(2)] $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$
\item[(3)] $|2\vec{a}-\vec{b}|$
\item[(4)] $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直になるような実数 $t$ の値
\end{enumerate}
(1) $|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$ より $7=4+2\vec{a}\cdot\vec{b}+9$．よって $\vec{a}\cdot\vec{b}=-3$
(2) $\cos\theta=\dfrac{-3}{2\cdot 3}=-\dfrac{1}{2}$．$0^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ より $\theta=120^\circ$
(3) $|2\vec{a}-\vec{b}|^2=4|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=16+12+9=37$．$|2\vec{a}-\vec{b}|\geqq 0$ であるから $|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{37}$
(4) $(\vec{a}+t\vec{b})\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2+t\,\vec{a}\cdot\vec{b}=4-3t=0$ より $t=\dfrac{4}{3}$
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