成分による垂直条件（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 成分による垂直条件（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\vec{a}=(1,\,2)$，$\vec{b}=(3,\,-1)$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求めよ．
\item[(2)] $\vec{a}$ に垂直で，大きさが $2\sqrt{5}$ のベクトル $\vec{p}$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\vec{a}+t\vec{b}=(1+3t,\,2-t)$，$\vec{a}-\vec{b}=(-2,\,3)$ である．$1+3t$ と $2-t$ は同時に $0$ にならないから $\vec{a}+t\vec{b}\neq\vec{0}$ であり，また $\vec{a}-\vec{b}\neq\vec{0}$ であるから，垂直となる条件は
\[ -2(1+3t)+3(2-t)=0 \quad\text{すなわち}\quad 4-9t=0 \]
よって $t=\dfrac{4}{9}$
(2) $\vec{p}=(x,\,y)$ とすると $x+2y=0$，$x^2+y^2=20$．$x=-2y$ を代入して $5y^2=20$ より $y=\pm 2$，このとき $x=\mp 4$（複号同順）．
よって $\vec{p}=(-4,\,2)$，$(4,\,-2)$
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