成分による垂直条件（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 成分による垂直条件（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\vec{a}=(2,\,-1)$，$\vec{b}=(x,\,4)$ が垂直になるような $x$ の値を求めよ．
\item[(2)] $\vec{a}=(3,\,4)$ に垂直な単位ベクトルを求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$ であるから，$\vec{a}\perp\vec{b}$ となる条件は $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ である．$2x-4=0$ より $x=2$
(2) 求める単位ベクトルを $\vec{e}=(x,\,y)$ とすると
\[ 3x+4y=0,\qquad x^2+y^2=1 \]
第 1 式から $x=-\dfrac{4}{3}y$．第 2 式に代入して $\dfrac{16}{9}y^2+y^2=1$ より $y^2=\dfrac{9}{25}$，$y=\pm\dfrac{3}{5}$．このとき $x=\mp\dfrac{4}{5}$（複号同順）．
よって $\vec{e}=\left(\dfrac{4}{5},\,-\dfrac{3}{5}\right)$，$\left(-\dfrac{4}{5},\,\dfrac{3}{5}\right)$
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